Fréchet filter
$ a_n\rightarrow\alpha\ (n\rightarrow\infin)\iff\forall\varepsilon>0\exists\delta>0\forall n\in\N_{>\delta};|a_n-\alpha|<\varepsilon
ここで、$ A:\varepsilon\mapsto\{n\in\N||a_n-\alpha|<\varepsilon\}を導入して書き換える
$ a_n\rightarrow\alpha\ (n\rightarrow\infin)
$ \iff\forall\varepsilon>0\exists\delta>0\forall n\in\N_{>\delta};n\in A(\varepsilon)
$ \iff\forall\varepsilon>0\exists\delta>0;\N_{>\delta}\subseteq A(\varepsilon)
$ A(\varepsilon)の解釈
$ \alphaとの誤差を$ \varepsilon未満に抑えられる$ a_nの添字の集合
これが$ \N_{>\delta}を含むので、$ a_n\rightarrow\alpha\ (n\rightarrow\infin)は「$ \alphaとの誤差を任意の値未満に抑えられる$ a_nが無限にある」と解釈できる
ただし、ここまでの結果だと、$ \varepsilonより誤差が大きくなってしまう$ a_nがどのくらい存在するかまではわからない
更に補集合$ \N\setminus A(\varepsilon)で書き換える
あー、補集合の計算法則を調べないと進めないな
$ \N\setminus\{x\in\N|P(x)\}=\{x\in\N|\lnot P(x)\}
つまり
$ \N_{>\delta}\subseteq A(\varepsilon)
$ \iff\forall n\in\N_{>\delta};|a_n-\alpha|<\varepsilon
$ \iff\forall n\in\N;(|a_n-\alpha|\ge\varepsilon\implies n\le\delta)
うわ、対偶がでてくるのか
分割、すなわち複数の集合に要素を分類することが、論理値を割り当てる行為に相当してしまう？
$ \iff \{n\in\N||a_n-\alpha|\ge\varepsilon\}\subseteq\N_{\le\delta}
$ \iff \N\setminus A(\varepsilon)\subseteq\N_{\le\delta}
これで$ \N\setminus A(\varepsilon)が有限集合だと示せた
無限集合の補集合が無限集合になることはよくあるので、この結果は自明ではない
たとえば無限集合$ \N_\text{odd}の補集合$ \N_\text{even}は無限集合である
$ a_n\rightarrow\alpha\ (n\rightarrow\infin)
$ \iff\forall\varepsilon>0\exists\delta>0;\N_{>\delta}\subseteq A(\varepsilon)
$ \iff \forall\varepsilon>0\exists\delta>0;\N\setminus A(\varepsilon)\subseteq\N_{\le\delta}
$ \iff\forall\varepsilon>0;|\N\setminus A(\varepsilon)|\in\N
ちょっとだけ話が見えた
ここでやっとFréchet filter$ \mathcal{F}_0:=\{A\in2^\N||\N\setminus A|\in\N\}が登場する $ A(\varepsilon)\in\mathcal{F}_0なので
$ a_n\rightarrow\alpha\ (n\rightarrow\infin)\iff\forall\varepsilon>0;A(\varepsilon)\in\mathcal{F}_0
となる
ここから、二項関係$ \bullet\sim\bullet:(\N\rightarrow\R)^2\ni(a_\bullet,b_\bullet)\mapsto(\{n\in\N|a_n=b_n\}\in\mathcal{F}_0)\in\{\top,\bot\}を定義し、調査する、という流れ
つまり、二つの数列がほとんど等しいことを、
誤差を任意の値未満に抑えられる箇所が無限にある
誤差を任意の値未満に抑えられない箇所が有限個しかない
と解釈して定式化している
空リンクなのに……takker.icon
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